Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在優弧上．

（1）求出A，B兩點的坐標；

（2）試確定經過A、B且以點P為頂點的拋物線解析式；

（3）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1-，0），B（1+，0）．（2）y=-x2+2x+2．（3）存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

【解析】

試題分析：（1）根據垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據C點的坐標即可得出A、B兩點的坐標．

（2）根據拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標為（1，3）．然后可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式．根據A或B的坐標即可確定拋物線的解析式．

（3）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點在y軸上，且坐標為（0，2）．然后將D點坐標代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點．

試題解析：（1）如圖，作CH⊥AB于點H，連接OA，OB，

∵CH=1，半徑CB=2

∴HB=，

故A（1-，0），B（1+，0）．

（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3），

設拋物線解析式y=a（x-1）2+3，

把點B（1+，0）代入上式，解得a=-1；

∴y=-x2+2x+2．

（3）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形

∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y軸，

∴點D在y軸上．

又∵PC=2，

∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）滿足y=-x2+2x+2，

∴點D在拋物線上

∴存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．