Question

【題目】（1）如圖1，矩形中，點、分別在線段、上，點與點關于對稱，點在線段上，連接、、交于點．求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，矩形中，，點、分別在線段、上，點與點關于對稱，點在線段上，，求的長；

（3）如圖3，有一塊矩形空地，，，點是一個休息站且在線段上，，點在線段上，現要在點關于對稱的點處修建一口水井，并且修建水渠和，以便于在四邊形空地上種植花草，余下部分貼上地磚．種植花草的四邊形空地的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3000.

【解析】

（1）先證，證明四邊形是平行四邊形，再根據即可證明是菱形；

（2）連接，設，在Rt△APE中，根據勾股定理解出x即可；

（3）先表示出四邊形的面積得到最小時，四邊形的面積最小，當點，，在同一條線上時，最小，再證，根據相似比求出EG，從而求出面積的最小值.

解：（1）證明：由對稱可知：，

在矩形中，，

∴，

在 △POE和△QOB中，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵點與點關于對稱，

∴，

∴四邊形是菱形；

（2）連接，由對稱知，，

設，

∴，

在Rt△APE中，根據勾股定理得，即，

∴解得：，

∴；

（3）連接，在中，，，

∴，

連接，過點作于，

∴四邊形

，

∴最小時，四邊形的面積最小，

對稱可知，，

∴點是以點為圓心，為半徑的一段弧上的一點，

∴點，，在同一條線上時，最小，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

∴最小，

∴四邊形的面積最小值S．