Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且EF⊥AB．

（1）若四邊形ABCD為正方形．

①如圖1，請直接寫出AE與DF的數量關系　 　；

②將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數量關系并說明理由．

（2）若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB，其他條件都不變．

①如圖3，猜想AE與DF的數量關系并說明理由；

②將△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，連接AE′，DF′，請在圖4中畫出草圖，并直接寫出AE′和DF′的數量關系．

Answer 1

【答案】（1)DF=AE；DF=AE；（2）DF=MF=AE；DF′=AE′.

【解析】

（1）①利用正方形的性質得△ABD為等腰直角三角形，則BD=AB，再證明△BEF為等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD-BF=AB-BE，從而得到DF=AE；
②利用旋轉的性質得∠ABE=∠DBF，結合=, 則根據相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以 =;

（2）①作FM⊥AD，垂足為M．依據勾股定理可得Rt△ABD中，BD= =AB，再根據△DMF∽△ABD，可得=,即可得出DF=AE；

②依據△BEF∽△BAD，可得=,進而得出=,即可得出△ABE′∽△DBF′，進而得到=,即DF′=AE′．

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∴BD=AB，

∵EF⊥AB，

∴△BEF為等腰直角三角形，

BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，

即DF=AE，

故答案為：DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，

∴∠ABE=∠DBF，

∵= ， =，

∴，

∴△ABE∽△DBF，

∴=，

即AE與DF的數量關系是：DF=AE；

（2）①AE與DF的數量關系是：DF=AE；

理由：在圖3中，作FM⊥AD，垂足為M．

∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，

∴四邊形AEFM是矩形，

∴FM=AE，

∵AD=BC=mAB，

∴Rt△ABD中，BD==AB，

∵MF∥AB，

∴△DMF∽△ABD，

∴=，

∴DF=MF=AE；

②AE′和DF′的數量關系：DF'=AE'．

如圖3，∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD==AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴，

∴=，

如圖4，∵△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴=，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴=，

即DF′=AE′．