Question

【題目】在圖1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，點E為直線BC上的動點，連接DE，以DE為邊向上作等邊△DEF，使得點F在∠ABC內部，連接BF．

（1）如圖1，當BD＝BE時，∠EBF＝　 　；

（2）如圖2，當BD≠BE時，（1）中的結論是否成立？若成立，請予以證明，若不成立請說明理由；

（3）請直接寫出線段BD，BE，BF之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）結論仍然成立，見解析；（3）BF＝BD+BE．

【解析】

（1）由“SSS”可證△DBF≌△EBF，可得∠DBF＝∠EBF＝60°；

（2）如圖2，過點F作FG⊥BC，FH⊥AB，由“AAS”可證△FDH≌△FEG，可得FH＝FG，由角平分線的性質可得∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由全等三角形的性質可得DH＝EG，由含30°的直角三角形的性質可得BF＝2BH＝2BG ，進而可得出BF＝BE+BD．

解：（1）∵△DEF是等邊三角形，

∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，

∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，

∴△DBF≌△EBF（SSS）

∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，

∴∠EBF＝60°，

故答案為：60°；

（2）結論仍然成立，

理由如下：如圖2，過點F作FG⊥BC于點G，，FH⊥AB于點H，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，

∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，

∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，

∴△FDH≌△FEG（AAS）

∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，

∴DH＝EG，

∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，

∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠BFH＝∠BFG＝30°，

∴BF＝2BH＝2BG，

∴BF＝BH+BG＝BD+BE．