Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若⊙O的直徑為18，cosB= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即點D是AB的中點

（2）解：DE是⊙O的切線．

證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA= ，

∵cosB= ，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA= ，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE=

【解析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角得出CD⊥AB，再由等腰三角形的三線合一得出結論；（2）由中位線定理得出DO∥AC，又由DE⊥AC，得出DE⊥DO即DE是⊙O的切線；（3）由等腰三角形的性質得出∠B=∠A，再根據等角的同名三角函數相等得出cosA= 得出AE的值，最后根據勾股定理得出結論。