Question

【題目】（1）如圖1，點在上，請在圖中用直尺（不含刻度）和圓規作等邊三角形，使得點、都在上．

（2）已知矩形中，，．

①如圖2，當時，請在圖中用直尺（不含刻度）和圓規作等邊三角形，使得點在邊上，點在邊上；

②若在該矩形中總能作出符合①中要求的等邊三角形，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②的取值范圍是．

【解析】

解：(1) 作直徑，以為圓心，為半徑作弧，交于點、，連、、即可得到等邊三角形．

(2) ①連，在上任取一點，以為半徑作，交于點，以為圓心，為半徑作弧，交于點、，連、并延長，交、于點、，連，則就是所要求作的．

②分兩種情況討論，運用等邊三角形的性質和勾股定理得到m的最大值和最小值即可；

解：（1）如圖1，作直徑，以為圓心，為半徑作弧，交于點、，連、、，則就是所要求作的．

（2）①如圖2，連，在上任取一點，以為半徑作，交于點，以為圓心，為半徑作弧，交于點、，連、并延長，交、于點、，連，則就是所要求作的．

②一開始E點從B點出發，往C的方向運動，AF可以看成AE逆時針旋轉60度得到，因此F是往上運動的，但是AE一直在變長，如果BC的長度不變的話，AF就是變少。（但是要保持AE=AF）只能變長BC了。所以E點從B點出發，往C的方向運動過程中，BC一直在變長。F最多只能到D點，因此F在D點處，BC就是最長了，因此得到如下的兩個臨界值：

如圖，當E點與B點重合時，此時是臨界點的最小值，

∵△AFE是等邊三角形，

∴EF=AB=4，∠AEF=60°，

∴∠FEC=30°，

∴FC=2（直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

∴此時，

當F點與D點重合時，此時是臨界點的最大值，

∵△AFE是等邊三角形，

∴AD=AE，∠BAE=90°-60°=30°，

假設AD=AE=2x，

∴FC=x（直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

∴此時，

解得，

∴，

∴的取值范圍是．