Question

【題目】已知如圖，以的AC邊為直徑作交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，作交BC于點F，連接EF．

求證：

求證：EF是的切線；

若的半徑為3，，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

(1)由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF//AB，得出OF⊥CE，

(2)得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．(3)證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質即可得到結果．

證明：如圖，連接CE，

是的直徑，

，

，

(2)∵OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠0CE，

，

即：，

，

即：，

∴FE為的切線；

如圖，∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，

，，

，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

，

在中，，

，，

．