Question

【題目】(1)任意四邊形四邊中點圍成的四邊形是__________；

(2)對角線相等的四邊形四邊中點圍成的四邊形是__________；

(3)對角線垂直的四邊形四邊中點圍成的四邊形是__________；并證明．

Answer 1

【答案】平行四邊形菱形矩形

【解析】

（1）連接任意四邊形的中點，如圖，連接AC，根據三角形的中位線定理，可以證得HG=FE=AC，并且HG∥EF，所以利用平行四邊形的判定定理可知，該中點四邊形是平行四邊形．

（2）在（1）的基礎上，易證平行四邊形GHBF的一組鄰邊相等，所以根據菱形的定義可知該中點四邊形是菱形．

（3）在（1）的基礎上，易證平行四邊形GHBF中有一個角是直角，所以根據矩形的定義可知該中點四邊形是矩形．

（1）如圖所示，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．

連接AC，

∵E、F、G、H分別為各邊的中點，

∴HG、EF分別為△ACD與△ABC的中位線，

∴HG∥AC∥EF，HG=EF=AC，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC=BD，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．

連接AC、BD，

∵E、F、G、H分別為各邊的中點，

∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，

∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

同理可得，HG=EF=AC，

∵AC=BD，

∴EH=GF，

∴四邊形EFGH是菱形；

（3）如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，E、F、G、H分別為各邊的中點，求四邊形EFGH的形狀．

解：連接AC、BD，

∵E、F、G、H分別為各邊的中點，

∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，

∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

同理可得，HG∥AC∥EF，

∵AC⊥BD，

∴HG⊥BD⊥EH，

∴四邊形EFGH是矩形．