Question

【題目】如圖，等邊邊長為，點是的內心，，繞點旋轉，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結論：①形狀不變；②的面積最小不會小于四邊形的面積的四分之一；③四邊形的面積始終不變；④周長的最小值為．上述結論中正確的個數是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接OB、OC，利用SAS證出△ODB≌△OEC，從而得出△ODE是頂角為120°的等腰三角形，即可判斷①；過點O作OH⊥DE，則DH=EH，利用銳角三角函數可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面積公式可得S△ODE=OE2，從而得出OE最小時，S△ODE最小，根據垂線段最短即可求出S△ODE的最小值，然后證出S四邊形ODBE=S△OBC=即可判斷②和③；求出的周長=a＋DE，求出DE的最小值即可判斷④．

解：連接OB、OC

∵是等邊三角形，點是的內心，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°

∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°

∵

∴∠BOC

∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE

∴∠BOD=∠COE

在△ODB和△OEC中

∴△ODB≌△OEC

∴OD=OE

∴△ODE是頂角為120°的等腰三角形，

∴形狀不變，故①正確；

過點O作OH⊥DE，則DH=EH

∵△ODE是頂角為120°的等腰三角形

∴∠ODE=∠OED=（180°－120°）=30°

∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH= OE·cos∠OED=OE

∴DE=2EH=OE

∴S△ODE=DE·OH=OE2

∴OE最小時，S△ODE最小，

過點O作OE′⊥BC于E′，根據垂線段最短，OE′即為OE的最小值

∴BE′=BC=

在Rt△OBE′中

OE′=BE′·tan∠OBE′=×=

∴S△ODE的最小值為OE′2=

∵△ODB≌△OEC

∴S四邊形ODBE=S△ODB＋S△OBE= S△OEC＋S△OBE=S△OBC=BC·OE′=

∵=×

∴S△ODE≤S四邊形ODBE

即的面積最小不會小于四邊形的面積的四分之一，故②正確；

∵S四邊形ODBE=

∴四邊形的面積始終不變，故③正確；

∵△ODB≌△OEC

∴DB=EC

∴的周長=DB＋BE＋DE= EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE

∴DE最小時的周長最小

∵DE=OE

∴OE最小時，DE最小

而OE的最小值為OE′=

∴DE的最小值為×=

∴的周長的最小值為a＋=，故④正確；

綜上：4個結論都正確，

故選A．