Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）.

（1）四邊形EFGH的形狀是 _____________ ，（證明你的結論. ）

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足 __________條件時，四邊形EFGH是矩形(不用證明)

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；證明見解析（2）AC⊥BD

【解析】

(1)連接BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形.

(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖，連結BD，

∵E、H分別是AB、AD中點，

∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：

如圖，連結AC、BD，

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是矩形，

故答案為：AC⊥BD.