Question

【題目】已知：如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，過點F作FG⊥BF交BC的延長線于點G．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）如果AB= 2，∠BAD=60°，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質證得AB=BE=AF，得到四邊形ABEF是平行四邊形，再根據鄰邊相等證得結論；

（2）根據菱形的性質求得∠BAE=30°，OB=OF=1，再根據FG⊥BF求出∠G==30°，得到BG=4，根據勾股定理求出FG.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.

∴∠DAE=∠AEB.

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE.

∴∠AEB =∠BAE.

∴AB=BE.

同理：AB=AF.

∴AF=BE，AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形.

又∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形.

（2） ∵四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF，AE平分∠BAD，

∵AB= 2，∠BAD=60°，

∴∠BAE=30°，∠FBE=∠ABF=60°,

∴OB=OF=1，

∴BF=2，

又∵FG⊥BF，

∴∠BFG==90°，

∴∠G==30°，

∴BG=4，

∴．