Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，n），若點A′（m，n′）的縱坐標滿足n′=，則稱點A′是點A的“絕對點”．

（1）點（3，2）的“絕對點”的坐標為　　．

（2）點P是函數y=4x-1的圖象上的一點，點P′是點P的“絕對點”．若點P與點P′重合，求點P的坐標．

（3）點Q（a，b）的“絕對點”Q′是函數y=2x2的圖象上的一點．當0≤a≤2 時，求線段QQ′的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，1）；（2）m=,n=;（3）Q Q′的最大值為14或2

【解析】分析：（1）根據絕對點的定義，可得答案；（2）根據絕對點的定義，可得Q點的坐標，根據點在函數圖象上，可得方程，根據解方程，可得答案；（3）當a≥b時，Q′的坐標為（a，a-b），由Q′是函數y=2x2的圖象上一點知a-b=2a，即b=a-2a．可得QQ′=|a-b-b|=|a-2（a-2a2）|=|4a2-a|，利用二次函數的圖象和性質求出其最大值；當a<b時，Q′的坐標為（a，b-a），知QQ′=|b-b+a|=|a|，顯然可得其最值．

本題解析：

解：（1）∵3＞2，

∴點（3，2）的“絕對點”的縱坐標為3﹣2=1，

則點（3，2）的“絕對點”的坐標為（3，1），

故答案為：（3，1）

（2）設點P的坐標為（m，n）．

當m≥n時，P′的坐標為（m，m﹣n）．

若P與P′重合，則n=m﹣n，

又n=4m-1．∴2（4m-1）=m,m= ,n= .

（3）當a≥b時，Q′的坐標為（a，a﹣b）．

因為Q′是函數y=2x2的圖象上一點，

所以a﹣b=2a2．

即b=a﹣2a 2．

QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，

當a=2時，QQ′的最大值為14．

當a＜b時，Q′的坐標為（a，b﹣a）．

QQ′=|b﹣b+a|=|a|．

當a=2時，QQ′的最大值為2．

綜上所述，Q Q′的最大值為14或2