Question

【題目】已知∠ABC=90°，D是直線AB邊上的點，AD=BC

（1）如圖1，點D在線段AB上，過點A作AF⊥AB，且AF=BD，連接DC、DF、CF，試判斷△CDF的形狀并說明理由；

（2）如圖2，點D在線段AB的延長線上，點F在點A的左側，其他條件不變，以上結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDF是等腰直角三角形，理由見解析；（2）成立，理由見解析．

【解析】

（1）根據題意先證明出△FAD和△DBC全等，然后得出DF=DC，進一步利用全等三角形性質以及等量代換求出∠FDC=90°，從而證明出△CDF是等腰直角三角形；

（2）根據題意先證明出△FAD和△DBC全等，然后得出DF=DC，進一步利用全等三角形性質以及等量代換求出∠FDC=90°，從而證明出△CDF是等腰直角三角形；

（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

∵AF⊥AB，

∴∠A=90°

在△FAD和△DBC中

∵．．

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴∠1=∠3，DF=DC，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠FDC=180°90°=90°，

又∵DF=DC，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）仍然成立，理由如下：

∵AF⊥AB，

∴∠A=90°．

在△FAD和△DBC中

∵．

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴∠1=∠3，DF=DC，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，即∠FDC=90°，

又∵DF=DC，

∴△CDF是等腰直角三角形．