Question

【題目】如圖，直徑為13的⊙E，經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB(OA＞OB)的長分別是方程x2+kx+60＝0的兩根．

(1)OA：OB＝____；

(2)若點C在劣弧OA上，連結BC交OA于D，當△BOC∽△BDA時，點D的坐標為______．

Answer 1

【答案】（1）12：5；（2）（，0）．

【解析】

試題解析：連接AB，

∵∠AOB=90°，

∴AB是⊙E的直徑，AB=13，

∴OA2+OB2=AB2=169．

根據根與系數的關系可得：

OA+OB=-k＞0，OA×OB=60，

∴OA2+OB2=（OA+OB）2-2OAOB=k2-120=169，

∴k=-17，

原方程為x2-17x+60=0，

解得x1=5，x2=12，

∴OA=12，OB=5，

∴OA：OB=12：5．

（2）過點D作DH⊥AB于H，如圖．

∵△BOC∽△BDA，

∴∠OBC=∠DBA，

在△BOD和△BHD中，

，

∴△BOD≌△BHD，

∴BH=BO=5，DH=OD．

設OD=x，則DH=x，DA=12-x．

在Rt△DHA中，根據勾股定理可得，

x2+（13-5）2=（12-x）2，

解得x=，

∴點D的坐標為（，0）．