Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，交AB延長線于點F．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB＝10，BF＝，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝8．

【解析】

（1）連接OD、AD，由AB＝AC且∠ADB＝90°知D是BC的中點，由O是AB中點知OD∥AC，根據OD⊥DE進一步求證即可；

（2）通過證明△ODF∽△AEF，可得，據此進一步求AE的長即可．

（1）連接OD、AD，

∵DE切⊙O于點D，

∴OD⊥DE，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中點，

又∵O是AB中點，

∴OD∥AC，

∵OD⊥DE，

∴DE⊥AC；

（2）∵AB＝10，

∴OA＝OB＝OD＝5，

∴OF＝BO+BF＝，AF＝BF+AB＝，

由（1）得OD∥AC，

∴∠ODF=∠AEF，∠F=∠F，

∴△ODF∽△AEF，

∴，

∴，

∴AE＝8．