Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點O，OC=1，以點O為圓心OC為半徑作半圓．

（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）如果tan∠CAO= ，求cosB的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖作OM⊥AB于M，

∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，

∴OC=OM，

∴AB是⊙O的切線，

（2）

解：設BM=x，OB=y，則y2﹣x2=1 ①，

∵cosB= ，

∴ ，

∴x2+3x=y2+y ②，

由①②可以得到：y=3x﹣1，

∴（3x﹣1）2﹣x2=1，

∴x= ，y= ，

∴cosB= = ．

【解析】（1）如圖作OM⊥AB于M，根據角平分線性質定理，可以證明OM=OC，由此即可證明．（2）設BM=x，OB=y，列方程組即可解決問題．本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數等知識，解題的關鍵是記住圓心到直線的距離等于半徑，這條直線就是圓的切線，學會設未知數列方程組解決問題，屬于中考常考題型．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對銳角三角函數的定義的理解，了解銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．