Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點E，過點B作⊙O的切線交DA的延長線于點F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BF是⊙O的切線，

∴∠1=∠C，

∵∠ABF=∠ABC，

即∠1=∠2，

∴∠2=∠C，

∴AB=AC；

（2）解：如圖，連接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，

∵cos∠ADB= ，∴BD= = = =5，

∴AB=3．

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∵cos∠ABE= ，∴BE= = = ，

∴AE= = ，

∴DE=AD﹣AE=4﹣ = ．

【解析】（1）由BF是⊙O的切線，利用弦切角定理，可得∠1=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可證得∠2=∠C，即可得AB=AC；（2）首先連接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的長度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的長度；最后利用DE=AD﹣AE求得結果．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．