Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙M，給出如下定義：若⊙M上存在兩個點A，B，使AB=2PM，則稱點P為⊙M的“美好點”．

（1）當⊙M半徑為2，點M和點O重合時．

①點P1(﹣2，0)，P2(1，1)，P3(2，2)中，⊙O的“美好點”是　　　　；

②若直線y=2x+b上存在點P為⊙O的“美好點”，求b的取值范圍；

（2）點M為直線y=4上一動點，以2為半徑作⊙M，點P為直線y=x上一動點，點P為⊙M的“美好點”，求點M的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P1和P2；②；（2）滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6．

【解析】

（1）①根據⊙M的“美好點”即可判斷．

②求出直線y＝2x＋b與⊙M相切時，b的值即可解決問題；

（2）當直線y＝4與⊙M相切時，求出點M的坐標，有兩個值，由此即可解決問題．

解：（1）①如圖1中，

∵OP1＝2＝r，OP2＝＜r，OP3＝2＜r，

根據⊙M的“美好點”的定義可知，P1，P2是⊙M的“美好點”．

故答案為：P1和P2．

②當直線y＝2x＋b與⊙O相切時，設切點為T，該直線交x軸于K，交y軸于E．

由題意E(0，b)，K(－，0)，

∴OE＝b，OK＝，EK＝b．

∵sin∠TKO＝，

∴，

∴b＝2，

根據對稱性可知：當直線與⊙O在下方相切時，OF＝OE＝2，

∴b＝－2，

∴b的取值范圍為：－2≤b≤2．

（2）如圖2中，

當直線y＝4與⊙M相切時，切點分別為E或E'，連接ME，M'E'．

∵EM＝E'M'＝2，

∴M'(2，2)，m(6，6)，

∴滿足條件的m的取值范圍為2≤m≤6．