Question

【題目】如圖，是的直徑，且，點為外一點，且，分別切于點、兩點．與的延長線交于點．

（1）求證：；

（2）填空

①當________時，四邊形是正方形．

②當_________時，為等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6，．

【解析】

（1）根據切線的性質及切線長定理可得MA⊥OA，MC⊥OC，MC＝MA，然后根據等邊對等角及等角的余角相等求出∠DCM＝∠D，證得DM＝MC即可得出結論；

（2）①根據正方形的判定定理可知當CM＝OA＝6時，四邊形AOCM是正方形；

②根據等邊三角形的性質可得∠D＝60°，進而求出∠AOM＝30°，然后解直角三角形求出AM即可解決問題．

解：（1）如圖1，連接OM，

∵MA，MC分別切⊙O于點A、C，

∴MA⊥OA，MC⊥OC，MC＝MA，

∴∠DCM+∠OCB＝90°，∠D+∠B＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∴∠DCM＝∠D，

∴DM＝MC，

∴DM＝MA；

（2）①如圖2，當CM＝6時，四邊形AOCM是正方形；

∵AB＝12，

∴OA＝OC＝6，

又∵CM＝AM＝6，即AO＝CO＝AM＝CM＝6，

∴四邊形AOCM是菱形，

又∵∠DAB＝90°，

∴四邊形AOCM是正方形；

②連接OM，如圖3，

∵△DCM是等邊三角形，

∴∠D＝60°，

∵∠DAB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴∠AOC＝2∠B＝60°，

∵AB＝12，MA，MC分別切⊙O于點A、C，

∴OA＝6，∠AOM＝30°，

∴tan∠AOM＝tan30°＝，

∴AM＝，

∴CM＝AM＝，

即當CM＝時，△CDM為等邊三角形．