Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點，頂點坐標為.

（1）求拋物線的表達式和頂點的坐標；

（2）如圖1，點為拋物線上一點，點不與點重合，當時，過點作軸，交拋物線的對稱軸于點，作軸于點H，得到矩形，求矩形的周長的最大值；

（3）如圖2，點為拋物線對稱軸上一點，是否存在點，使以點、、為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標；（2）周長的最大值為；（3）存在，P的坐標為，，，.

【解析】

（1）把A、B坐標代入y=-x2+bx+c，解方程組求出b、c的值即可得答案；（2）設矩形的周長為，，分別討論-7<x<-3時和-3<x<-2時兩種情況，用x表示出矩形的周長，根據二次函數的性質求出最大值即可得答案；（3）設分時，時，時，三種情況討論，利用勾股定理求出m的值即可得答案.

（1）把兩點坐標代入

得，

解得：，

∴拋物線方程為：，頂點坐標，

（2）

如圖1，設矩形的周長為，，

∴，

∵A（-7，0），B（1，0），

∴拋物線對稱軸為直線x=-3，

①當時，

，

，

=

=

=

=

∵，

∴時，矩形周長最大，最大值為.

②當時

EF=x-(-3)=x+3，

l=

=

.

∴當時，矩形周長最大，最大值為

∴綜上所述，周長的最大值為

（3）存在.如下圖

設

（i）當時，

16+

16

2

m2

解得：

∴P1，P2

（ii）當時，

49+49+9+(7-m)2=16+m2

∴

140=14m，

m=10，

∴P3，

（iii）當時，

98+16+m2=9+(7-m)2

49+49+16+m2=9+49-14m+m2

56=-14m

解得：，

∴P4

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為，，，