Question

【題目】已知⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，點E在CD上，且AE=CE．

（1）求證：CA2=CE CD；

（2）已知CA=5，EC=3，求sin∠EAF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠EAF=．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得∠CAE=∠D，結合∠C是公共角可得△CEA∽△CAD，從而可得：，由此即可得到：CA2=CE ·CD；

（2）由CA2=CE ·CD結合CA=5，EC=3，可求出CD的長，結合F是CD的中點可求得CF的長，從而由EF=CF-EC求得EF的長，這樣結合AE=EC=3在Rt△AEF中即可求得sin∠EAF的值了.

試題解析：

（1）∵弦CD⊥直徑AB，

∴，

∴∠D=∠C，

又∵AE=EC，

∴∠CAE=∠C，

∴∠CAE=∠D，

∵∠C是公共角，

∴△CEA∽△CAD，

∴ ，

∴CA2=CECD；

（2）∵CA2=CECD，AC=5，EC=3，

∴52=CD3，

解得：CD=，

又∵CF=FD，

∴CF=CD=×=，

∴EF=CF-CE=-3=，

在Rt△AFE中，sin∠EAF=．