Question

【題目】定義：如果一個直角三角形的兩條直角邊的比為，那么這個三角形叫做“半正切三角形”．

（1）如圖①，正方形網格中，已知格點，，在格點，，，中，與，能構成“半正切三角形”的是點__________；

（2）如圖②，為“半正切三角形”，點在斜邊上，點在邊上，將射線繞點逆時針旋轉，所得射線交邊于點，連接．

①小彤發現：若為斜邊的中點，則一定為“半正切三角形”．請判斷“小彤發現”是否正確？并說明理由；

②連接，當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）正確，見解析；（3）

【解析】

（1）按照“半正切三角形”的條件，逐個求解即可；

（2）①過作于點，于點,然后利用相似三角形的性質證明即可；

②過點作交于點，也可證得也為“半正切三角形”，再利用相似三角形及三角函數計算即可．

解：（1）若為點C，在△ABC中，AB2=20，BC2=4，AC2=16，

則AB2=BC2+AC2，△ABC是直角三角形且AC=2BC，∴點C符合；

若為點D，在△ABD中，AB2=20，AD2=10，BD2=10，

則AB2=AD2+BD2，△ABD是直角三角形且AD=BD，∴點D不符合；

若為點E，在△ABE中，AB2=20，AE2=8，BE2=20，

則AB2≠AE2+BE2，△ABE不是直角三角形，∴點E不符合；

若為點F，在△ABF中，AB2=20，AF2=5，BF2=25，

則AB2+AF2=BF2，△ABF是直角三角形且BF=2AF，∴點F符合；

故答案為：，．

（2）①過作于點，于點．

則．又，∴．

再證．

又，

∴為“半正切三角形”．

（3）解：由旋轉可知，則，

∵，∴，

∴．

過點作交于點，可得也為“半正切三角形”，

設，則，，

在中，．

則．

∴．