Question

【題目】已知菱形ABCD的對角線相交于O，點E，F分別在邊AB、BC上，且BE=BF，射線EO，FO分別交邊CD、AD于G，H．

（1）求證：四邊形EFGH為矩形；
（2）若OA=4，OB=3，求EG的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAO=∠DCO，∠AOE=∠GOC，

∴△AOE≌△COG（ASA），

∴OE=OG，

同理得：OH=OF，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∵BE=BF，∠ABD=∠CBD，OB=OB，

∴△EBO≌△FBO，

∴OE=OF，

∴EG=FH，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：∵垂線段最短，

∴當OE⊥AB時，OE最小，

∵OA=4，OB=3，∠AOB=90°，

∴AB2=OA2+OB2=25，

∴AB=5，

∴ OA×OB= AB×OE，

3×4=5×OE，

OE= ，

∵OE=OG，

∴EG= ．

答：EG的最小值是 ．

【解析】（1）利用菱形的性質可證得四邊形EFGH的對角線互相平分，證出它是平行四邊形，再證出其對角線相等，得出它是矩形；（2）求EG的最小值也就是OE 的最小值，根據垂線段最短，可知當OEOE⊥AB時，OE最小，進而EGz最小.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．