Question

【題目】在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，點B的坐標是（5，3），直線y=2x+b與x軸交于點E，與線段AB交于點F．

（1）用含b的代數式表示點E，F的坐標；

（2）當b為何值時，△OFC是等腰三角形；

（3）當FC平分∠EFB時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣，0）；（2）①b=﹣2；②b=﹣5；③b=﹣1．（3）F（，3）．

【解析】試題分析：（1）根據B、F兩點的縱坐標都是3，即可求出點F的坐標，對于直線y=2x+b，令y=0，求出x，可得點E坐標；

（2）分三種情形：①FO=FC．②OF=OC．③CF=OC分別求解即可；

（3）由AB∥OC，CF平分∠EFB，推出∠BFC=∠FCE=∠EFC，推出EF=EC，由此構建方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴BF∥OC．∵B（5，3），∴點F的縱坐標為3，∴3=2x+b，∴x=，∴F（，3），對于直線y=2x+b，令y=0，得到x=﹣，∴E（﹣，0）．

（2）①當FO=FC時，OF=AB=，∴=，∴b=﹣2．

②當OF=OC時，AF==4，∴=4，∴b=﹣5．

③當CF=OC時，FB=4，AF=1，∴=1，∴b=﹣1．

（3）如圖，連接CF．

∵AB∥OC，CF平分∠EFB，∴∠BFC=∠FCE=∠EFC，∴EF=EC，∴EF2=EC2．∵F（，3），E（﹣，0），∴32+（+）2=（5+）2，∴b=﹣10+3或﹣10﹣3（舍棄），∴F（，3）．