Question

【題目】已知四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．

（1）如圖1，若P為AB邊上一點以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

（2）若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請問對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值，如果不存在，請說明理由．

（3）如圖2，若P為直線DC上任意一點，延長PA到E，使AE=AP，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在，理由見解析，當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．

（2）存在，理由見解析， 當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．

（3）存在，理由見解析，最小值為

【解析】試題分析：（1）在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，使得Rt△ADP≌Rt△HCQ，進而求出最小值；

（2）設PQ與DC相交于點G，作QH⊥BC，交BC的延長線于H，可得Rt△ADP∽Rt△HCQ，進而求出最小值；

（3）設PQ與AB相交于點G，由平行線分線段成比例定理可得.作QH∥PD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，可證△ADP∽△BHQ，

從而.過點D作DM⊥BC于M，則四邊形ABND是矩形，可求∠DCM=45°，從而求出CD、CK的值，可知當D與P重合時的PQ長就是PQ的最小值.

解：（1）存在，理由如下：

如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，

則G是DC的中點，

過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴AD⊥AB，∠ADC=∠DCH，

即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC=∠DCQ，

∴∠ADP=∠QCH，

在△ADP和△HCQ中，，

∴△ADP≌△HCQ（AAS），

∴AD=HC，

∵AD=1，BC=3，

∴BH=4，

∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．

（2）存在，理由如下：

如圖3，設PQ與DC相交于點G，

∵四邊形PCQE是平行四邊形，

∴PE∥CQ，PE=CQ，

∴，

∵PD=DE，

∴CQ=2PD，

∴=,

∴G是DC上一定點，

作QH⊥BC，交BC的延長線于H，

同（2）得：∠ADP=∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

∴=，

∴CH=2，

∴BH=BC+CH=3+2=5，

∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．

（3）存在，理由如下：

如圖4，設PQ與AB相交于點G，

∵四邊形PBQE是平行四邊形，

∴PE∥BQ，PE=BQ，

∴，

∵AE=PA，

∴BQ=2PA，

∴=

作QH∥PD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，

∴∠QBH=∠PAD，

∴△ADP∽△BHQ，

∴=，

∵AD=1，

∴BH=2，

∴CH=BH+BC=2+3=5，

過點D作DM⊥BC于M，

則四邊形ABND是矩形，

∴BM=AD=1，DM=AB=2

∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，

∴∠DCM=45°，

∴∠KCH=45°，

∴CK=CHcos45°=5×=，

在Rt△CDM中，CD=2，

∴CK＞CD，

∴當PQ⊥CD時，PQ的長最小，但是，P點已經不在CD上了，到延長線上了，

∴當D與P重合時的PQ長就是PQ的最小值，

此時Q與H重合，PQ=HD===

∴最小值為