Question

【題目】已知：拋物線 y＝ax2＋bx＋1 經(jīng)過(guò) A(1，0)、B(－1，3)兩點(diǎn)．

（1）求 a，b 的值；

（2）以線段 AB 為邊作正方形 ABB′A′，能否將已知拋物線平移，使其經(jīng)過(guò) A′、B′兩點(diǎn)？若能，求出平移后經(jīng)過(guò) A′、B′兩點(diǎn)的拋物線的解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）能，拋物線解析式為：或.

【解析】

（1）根據(jù)題意將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式進(jìn)一步求解即可；

（2）如圖，根據(jù)題意，首先畫出合適的圖形，得出正方形ABB′A′以及ABB′′A′′，然后根據(jù)兩種圖形分兩種情況進(jìn)一步分析討論即可.

（1）∵拋物線 y＝ax2＋bx＋1 經(jīng)過(guò) A(1，0)、B(－1，3)兩點(diǎn)，

故有：，，

∴，；

（2）

連接A′B，AB′交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥x軸于點(diǎn)G，

∵四邊形ABB′A′為正方形，

∴∠BA A′=90°，AB= A′A，BE= A′E= B′E=AE，

∵∠BA A′=90°，

∴∠BAF+∠A′AG=90°，

∵∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠A′AG=∠ABF，

在△BAF與△A′AG中，

∵∠BFA=∠AG A′，∠ABF=∠A′AG，AB= A′A，

∴△BAF≌△A′AG，

∴A′G=AF，AG=BF，

∵AF=2，BF=3，

∴點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)=OG=OA+AG=4，

點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)= A′G=2，

即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4，2)，

∵點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(4，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，3)，E是A′B的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(，)，

∵E是A B′的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，

∴點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)=，點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)=，

即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2，5)，

過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的解析式為：，

化為頂點(diǎn)式為：，

設(shè)平移后的解析式為：，

假設(shè)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′，

則：，

，

∴，，

故存在經(jīng)過(guò)A′、B′兩點(diǎn)的拋物線，其解析式為：，

當(dāng)正方形為ABB′′A′′時(shí)，同理可得點(diǎn)A′′的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B′′的坐標(biāo)為(，1)，

此時(shí)經(jīng)過(guò)A′′、B′′兩點(diǎn)的拋物線的解析式為：.