Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60度得到BN，連接

（1）求證：

（2）①當M點在何處時， 的值最小；

②當M點在何處時，的值最小，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當M點在BD的中點處時，A，M，C三點共線，最小；②當M位于BD與CE交點處時，的值最小，見解析

【解析】

（1）根據旋轉的性質得BM=BN，∠MBN=60°，則可判斷△ABE是等邊三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根據“SAS”可判斷△AMB≌△ENB；（2）①連接AC，AC與BD相交于點O，如圖1，根據正方形的性質得點O為BD的中點，根據兩點之間線段最短得到AM+CM≥AC（當M點在AC上時取等號），于是得到當M點在BD的中點時，AM+CM的值最小；②由△BMN為等邊三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根據兩點之間線段最短，當點E、N、M、C共線時，AM+BM+CM的值最小．

（1）證明：是等邊三角形，

，

，

，

，

在中，

，

；

（2）①如圖，連接AC，AC與BD相交于點O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點O為BD的中點，

∵AM+CM≥AC（當M點在AC上時取等號），

∴當M點在BD的中點時，AM+CM的值最小；

②如圖，連接CE，當M位于BD與CE交點處時，的值最小；

理由如下：連接由MN（1）知，，

，

，

是等邊三角形，

，

，

根據兩點之間線段最短知：若E，N，M，C在同一直線上時，取得最小值，最小值為，

在中

，

，

，

，

若連接EC，則，

，

可以同時在直線EC上．

所以當M點位于BD與CE的交點處時，的值最小，即等于EC的長．