Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD邊上一點，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G．

（1）求線段CE的長；

（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DAM，設AM＝x，DN＝y．

①寫出y關于x的函數解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①y＝x2﹣x+10，y有最小值為2；②存在，8﹣10或．

【解析】

（1）由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，求出BF，設EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，在Rt△ECF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；

（2）①首先求出AG，DG，∠ADM＝∠NMG，證明△ADM∽△GMN，可得，整理后根據二次函數的最值求解即可．

②存在．有兩種情形：如圖3﹣1中，當MN＝MD時．如圖3﹣2中，當MN＝DN時，分別通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，

由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

設CE＝x，則DE＝EF＝8﹣x，

在Rt△EFC中，則有：（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，即CE＝3.

（2）①如圖2中，

,

∵AD∥CG，

∴，

∴，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝16，

在Rt△ABG中，AG＝，

在Rt△DCG中，DG＝，

∵AD＝DG＝10，

∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，

∴∠ADM＝∠NMG，

∴△ADM∽△GMN，

∴，

∴，

∴y＝x2﹣x+10，

∴當x＝4時，y有最小值，將x＝4代入可得，最小值＝2；

②存在，

由①可得∠DMN＝∠DGM，

∴∠DNM＝∠DMG，

∴∠DNM≠∠DMN，

所以有兩種情形：如圖3﹣1中，當MN＝MD時，

∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，

∴△DMN∽△DGM，

∴，

∵MN＝DM，

∴DG＝GM＝10，

∴x＝AM＝8﹣10．

如圖3﹣2中，當MN＝DN時，作MH⊥DG于H．

∵MN＝DN，

∴∠MDN＝∠DMN，

∵∠DMN＝∠DGM，

∴∠MDG＝∠MGD，

∴MD＝MG，

∵MH⊥DG，

∴DH＝GH＝5，

∵∠DAG＝∠DGA，∠DAG＝∠AGB，

∴∠DGA＝∠AGB，

又∵∠MHG＝∠ABG＝90°，

∴△GHM∽△GBA，

∴，

∴，

∴MG＝，

∴x＝AM＝8﹣＝．

綜上所述，滿足條件的x的值為8﹣10或．