Question

【題目】如圖，將在Rt△ABC繞其銳角頂點A旋轉90°得到在Rt△ADE，連接BE，延長DE、BC相交于點F，則有∠BFE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形．

（1）判斷△ABE的形狀，并證明你的結論；

（2）用含b代數式表示四邊形ABFE的面積；

（3）求證：a2+b2=c2．

Answer 1

【答案】（1）△ABE是等腰直角三角形，證明詳見解析；（2）b 2；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用旋轉的性質得出∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，AB=AE，即可得出△ABE的形狀；（2）利用四邊形ABFE的面積等于正方形ACFD面積，即可得出答案；（3）利用正方形ACFD面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進而證明即可．

（1）△ABE是等腰直角三角形，

證明：∵Rt△ABC繞其銳角頂點A旋轉90°得到在Rt△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，

又∵AB=AE，

∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四邊形ABFE的面積等于正方形ACFD面積，

∴四邊形ABFE的面積等于：b 2．

（3）∵S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE

即：b2=c2+（b+a）（b﹣a），

整理：2b2=c2+（b+a）（b﹣a）

∴a2+b2=c2．