Question

【題目】 如圖，四邊形ABCD內接于以BC為直徑的圓，圓心為O，且AB=AD，延長CB、DA交于P，過C點作PD的垂線交PD的延長線于E，且PB=BO，連接OA．

（1）求證：OA∥CD；

（2）求線段BC：DC的值；

（3）若CD=18，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）DE=．

【解析】

（1）連接BD，由圓周角定理可知∠BDC=90°，即CD⊥BD，再由AB=AD可知，則OA⊥BD，由此即可得出結論；

（2）設⊙O的半徑為r，則PB=OB=OC=OA=r，再由OA∥CD可知，△OAP∽△CDP，故可得出=，故可用r表示出CD的長，再求出BC：DC的值即可；

（3）由OF∥CD，OB=OC根據中位線定理可以求出OF，AF；再根據勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接著在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行線的性質得∠FAD=∠CDE證明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的對應邊成比例可以求出DE．

（1）證明：連接BD，交OA于點F．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，即CD⊥BD，

∵AB=AD，

∴

∴OA⊥BD，

∴OA∥CD；

（2）解：設⊙O的半徑為r，

∵PB=OB，

∴PB=OB=OC=OA=r，

∵OA∥CD，

∴△OAP∽△CDP，

∴=，=，解得CD=，

∴==；

（3）解：∵CD=18, CD=，∴r=12

∵OF∥CD，==，

∴OF=9，AF=3；

∵BD==6，

∴DF=BD=3，

∴AD==6；

∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE，

∴△AFD∽△DEC，

∴=，即=；

∴DE=．