Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，則滿足S△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最小，求出這個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．

∵AB=2，S△PAB= AB|y|=1，

∴y=±1．

當(dāng)y=1時(shí)，有1=﹣x2+4x﹣3，即x2﹣4x+4=（x﹣2）2=0，

解得：x1=x2=2；

當(dāng)y=﹣1時(shí)，有﹣1=﹣x2+4x﹣3，即x2﹣4x+2=0，

解得：x3=2﹣ ，x4=2+ ．

∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（2+ ，﹣1），（2﹣ ，﹣1）

（3）解：假設(shè)存在．

過點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接MC，任取拋物線對(duì)稱軸上除M外的任意一點(diǎn)N，連接NA，NC、NC′，如圖所示．

∵NA+NC=NA+NC′＞AC′=MA+MC′=MA+MC，

∴當(dāng)點(diǎn)A、M、C′三點(diǎn)共線時(shí)，△MAC的周長最小．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣ =2，

∴C′（4，﹣3）．

設(shè)直線AC′的解析式為y=mx+n，

∵點(diǎn)A（1，0）、C′（4，﹣3）在直線AC′上，

∴ ，解得： ，

∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1．

聯(lián)立直線AC′的解析式和拋物線的對(duì)稱軸成方程組： ，

解得： ．

∴直線AC′與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)為（2，﹣1），即M（2，﹣1），

∴存在點(diǎn)M（2，﹣1），可使△AMC的周長最小

【解析】（1）結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．結(jié)合三角形的面積公式求出y=±1，將其代入拋物線解析式中求出x值，由此即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在，過點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接MC，任取拋物線對(duì)稱軸上除M外的任意一點(diǎn)N，連接NA，NC、NC′，利用三角形兩邊之和大于第三邊得出點(diǎn)A、M、C′三點(diǎn)共線時(shí)，△MAC的周長最小．由拋物線的解析式找出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC′的解析式，再聯(lián)立直線AC′的解析式與拋物線的對(duì)稱軸成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．