Question

【題目】如圖1，射線在的內部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的奇妙線．

（1）如圖1，在的內部，有_________條奇妙線；

（2）如圖2，若，射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉，當首次等于時停止旋轉，設旋轉的時間為．

①直接寫出當為何值時，射線是的奇妙線？

②若射線同時繞點以每秒的速度逆時針旋轉，并與同時停止旋轉．請求出當射線是的奇妙線時的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①t為4.5或6或9 ；②或或

【解析】

（1）根據奇妙線的定義，若OC是射線是的奇妙線，有∠AOB=2∠AOC、∠AOC=2∠BOC、∠BOC=2∠AOC三種情況；

（2）①表達出∠QPN、∠QPM=20°t-60°，再分三種情況，根據奇妙線的定義列出方程即可求解；

②表達出∠QPN、∠M’PN、∠M’PQ，再分三種情況，根據奇妙線的定義列出方程即可求解；

解：（1）若∠AOB=2∠AOC，則OC是射線是的奇妙線，

若∠AOC=2∠BOC，則OC是射線是的奇妙線

若∠BOC=2∠AOC，則OC是射線是的奇妙線

∴在的內部，有3條奇妙線，

故答案為：3．

（2）①∵∠QPN=20°t，∠MPN=60°

∴∠QPM=20°t-60°

當∠QPN=2∠MPN時，即20°t=120°，解得t=6s，

當∠QPM=2∠MPN時，即20°t-60°=120°，解得t=9s，

當∠MPN=2∠QPM時，即60°=2（20°t-60°），解得t=4.5s，

故答案為：t為4.5或6或9．

②由題意得：∠QPN=20°t，∠M’PN=60°+12°t，∠M’PQ=60°-8°t

當時

∴

∴

當時，

∴

∴

當時，

∴

∴

綜上所述，當或或 時，射線是的奇妙線．