Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，P是直線AC上一點，AD⊥BP于D，以AD為邊作等邊△ADE（D，E在直線AC異側）．

（1）如圖1，若點P在邊AC上，連CD，且∠BDC=150°，則= ；（直接寫結果）

（2）如圖2，若點P在AC延長線上，DE交BC于F求證：BF=CF；

（3）在圖2中，若∠PBC=15°，AB=，請直接寫出CP的長 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由題意可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，即可求∠EDC=60°，∠EDC=90°，則可得的值；

（2）過點CM∥BD交DE于點M，連接CE，由題意可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，可求∠DEC=∠EMC=30°，可得MC=EC=BD，

則可證△BDF≌△CMF，可得BF=CF；

（3）作∠ABG=∠BAD，交AD于點G，由題意可求∠ABG=∠BAG=15°，可得∠BGD=30°，BG=AG，則可得BG=2BD，GD=BD，AD=BD+2BD，根據勾股定理可求BD=1，AD=2+，即可求AP的長，則可求CP的長．

（1）如圖：連接CE

∵△ABC，△ADE是等邊三角形,

∴AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°,

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE,

∴△ABD≌△ACE（SAS）,

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE,

∵∠ADB=90°，∠BDC=150°，∠ADE=60°,

∴∠EDC=60°,

∵∠BDC=∠BPC+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=60°+∠ACE+∠ACD=60°+∠ECD=150°

∴∠ECD=90°,

∴tan∠EDC=,

∴；

（2）如圖：過點CM∥BD交DE于點M，連接CE

∵△ABC和△ADE是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ADE=∠AED，

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（ASA），

∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，

∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠DEC=∠AEC-∠AED，

∴∠BDE=150°，∠DEC=30°，

∵MC∥BD，

∴∠DMC=∠BDE=150°，

∴∠EMC=30°，

∴∠DEC=∠EMC，

∴MC=CE，

∴BD=CM，且∠BDE=∠CMD，∠BFD=∠CFM，

∴△BDF≌△CMF（AAS），

∴CF=BF，

（3）如圖：作∠ABG=∠BAD，交AD于點G

∵∠ABC=60°，∠PBC=15°，AD⊥BD，

∴∠DAB=15°，

∵∠ABG=∠BAD，

∴∠ABG=∠BAG=15°，

∴∠BGD=30°，BG=AG，

∴BG=2BD，GD=BD，

∴AD=BD+2BD，

在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2．

∴（+）2=（+2）2 BD2+BD2．

∴BD=1，

∴AD=2+，

∵∠BAD=15°，∠BAC=60°，

∴∠DAP=45°，且AD⊥BD，

∴AP=AD=2+，

∵CP=AP-AC=AP-AB=2+-（+），

∴CP=.

故答案為.