Question

【題目】已知點P（m，n）是反比例函數y＝（x＞0）的圖象上的一動點，PA∥x軸，PB∥y軸，分別交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點A，B，點C是直線y＝2x上的一點．

（1）點A的坐標為（　 　，　 　），點B的坐標為（　 　，　 　）；（用含m的代數式表示）

（2）在點P運動的過程中，連接AB，證明：△PAB的面積是一個定值，并求出這個定值；

（3）在點P運動的過程中，以點P，A，B，C為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m＝3、1或

【解析】

(1)將點P(m，n)代入反比例函數y=(x＞0)，用m表示出n即可表示出點P的坐標，然后根據PA∥x軸，得到A點的縱坐標為，然后將點A的縱坐標帶人反比例函數的解析式y=(x＞0)即可得到點A的坐標，同理得到點B的坐標；

(2)根據PA=m-，PB==，利用S△PAB=PAPB即可得到答案；

(3)分三種情況分別畫出圖形，結合平行四邊的性質進行討論即可.

(1)∵點P(m，n)是反比例函數y＝(x＞0)圖象上的動點，

∴n＝，

∴點P(m，)；

∵PA∥x軸，

∴A點的縱坐標為，

將點A的縱坐標代入反比例函數的解析式y＝(x＞0)得：x＝，

∴A(，)，同理可得：B(m，)；

(2)∵PA＝m﹣＝，PB＝﹣＝，

∴S△PAB＝PAPB＝××＝；

(3)①若四邊形PBAC為平行四邊形，則有AC∥y軸，

∴C點橫坐標為，

代入y＝2x得C(，m)，

此時AC＝m﹣，PB＝，

由AC＝PB，得：m﹣＝，

解得：m＝3或m＝﹣3(舍去)，

∴m＝3時，四邊形PBAC為平行四邊形．

②若四邊形PABC為平行四邊形，則有BC∥x軸，

∴C點縱坐標為，

把y＝代入y＝2x得C(，)，

此時BC＝﹣m，

由BC＝PA，得﹣m＝，

解得：m＝1或m＝﹣1(舍去)；

③若PACB為平行四邊形，則有AC∥BP∥y軸，

∴點C(，)，

代入y＝2x，得＝2×，

解得m＝或m＝﹣(舍去)，

綜上：m＝3、1或時，以點P，A，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形.