Question

【題目】如圖，拋物線的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3）,點D在x軸正半軸上，線段OD=OC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點M，使得△CDM是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，連接QE.若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點的移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）(2 , 3 )或 )或；（3）存在， .

【解析】試題分析：

（1）根據已知條件設拋物線解析式為，代入點C的坐標就可以求出解析式了；

（2）①當點C是直角頂點時，由已知求出直線DM的解析式，再把所求解析式和（1）中所求二次函數解析式組合成方程組，解方程組即可求得點M的坐標；②當點D是直角頂點時，同①的方法可求得對應的M的坐標；

（3）如圖3，分別作點C關于直線QE和直線OD的對稱點C′和C′′，連接C′C′′交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度；如圖4，連接C′E，作C′N⊥y軸于點N，結合已知條件解出C′C′′的長度即可.

試題解析：

（1）設拋物線的解析式為，

將C（0，1）代入得： ，

解得: ,

∴拋物線的解析式為： 即；

(2)①如圖1，當點C為直角頂點時，

∵點C的坐標為（0，1），

∴OD=OC=1，

∴點D的坐標為（1，0），

設直線CD為，則： ，解答，

∴直線CD的解析式為： ，

∵此時CM⊥CD，

∴CM的解析式為： ，

由： ，解得： ， ，

∵點（0，1）與點C重合，

∴點M的坐標為（2，3），此時點M與點Q重合；

②如圖②，當D為直角頂點時，由①可得直線DM的解析式為，

由： ,解得： ， ，

∴點Ｍ的坐標為為或；

綜上所述，符合題意的Ｍ有三點，分別是(2 , 3 )， 或.

(3) 存在．如圖③所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．

如答圖④所示，連接C′E，

由（2）可知，QC⊥CD， 由題意可得：QC=QE，

∵∠DCE=45°，

∴∠QCE=45°=∠QEC，

∴△QCE是等腰直角三角形，

∵C，C′關于直線QE對稱，

∴△QC′E為等腰直角三角形，

∴△CEC′為等腰直角三角形，

∵在拋物線中，由解得，

∴點E的坐標為（4，1），

∴CE=4=C′E，

∴點C′的坐標為（4，5）；

∵C，C″關于x軸對稱，

∴點C″的坐標為（0，﹣1）．

∴OC″=1，

過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=CE=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=．

綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為．