Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求的面積；

（3）是軸上一點(diǎn)，且是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）9；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-5）或（0，8）或

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出OD=3，AD=4，得出點(diǎn)A（3，4），進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AB解析式；

（2）求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)解答即可；

（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的兩邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）∵，

∴設(shè)，則，

，

∴，

∴，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），

∵過(guò)點(diǎn)，

∴，

∴，當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，-2），

∵直線過(guò)，

∴ 解得

∴直線解析式為．

（2）如圖，記直線與軸交于點(diǎn)，

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

∴．

（3）設(shè)點(diǎn)P（0，m），

∵A（3，4），O（0，0），

∴OA=5，OP=|m|，AP=，

∵△AOP是等腰三角形，

∴①當(dāng)OA=OP時(shí)，

∴|m|=5，

∴m=±5，

∴P（0，5）或（0，-5），

②當(dāng)OA=AP時(shí)，

∴5=，

∴m=0（舍）或m=8，

∴P（0，8），

③OP=AP時(shí)，

∴|m|=，

∴m=，

∴P（0，），

即：當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）時(shí)，△AOP是等腰三角形．