Question

【題目】Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=900，∠MDN繞點D旋轉，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結論

①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，

其中正確結論的個數是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=900，

∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。

∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF=" BE+" AE=AB。

在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)=BC。∴結論①正確。

設AB=AC=a，AE=b，則AF="BE=" a－b。

∴。

∴。∴結論②正確。

如圖，過點E作EI⊥AD于點I，過點F作FG⊥AD于點G，過點F作FH⊥BC于點H，ADEF相交于點O。

∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，

∴EO≥EI（EF⊥AD時取等于）=FH=GD，

OF≥GH（EF⊥AD時取等于）=AG。

∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴結論④錯誤。

∵△EDA≌△FDC，

∴。∴結論③錯誤。

又當EF是Rt△ABC中位線時，根據三角形中位線定理知AD與EF互相平分。

∴結論⑤正確。

綜上所述，結論①②⑤正確。故選C。