Question

【題目】已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x

（1）求證：直線l與該拋物線總有兩個交點；

（2）設直線l與該拋物線兩交點為A，B，O為原點，當k=-2時，求△OAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】（1）聯立兩解析式，根據判別式即可求證；

（2）畫出圖象，求出A、B的坐標，再求出直線y=-2x+1與x軸的交點C，然后利用三角形的面積公式即可求出答案．

（1）聯立

化簡可得：x2-（4+k）x-1=0，

∴△=（4+k）2+4＞0，

故直線l與該拋物線總有兩個交點；

（2）當k=-2時，

∴y=-2x+1

過點A作AF⊥x軸于F，過點B作BE⊥x軸于E，

∴聯立

解得：或

∴A（1-，2-1），B（1+，-1-2）

∴AF=2-1，BE=1+2

易求得：直線y=-2x+1與x軸的交點C為（，0）

∴OC=1

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC

=OCAF+OCBE

=OC（AF+BE）

=×（2-1+1+2）

=2.