Question

【題目】如圖，在直角坐標系XOY中，菱形OABC的邊OA在x軸正半軸上，點B，C在第一象限，∠C=120°，邊長OA=8，點M從原點O出發沿x軸正半軸以每秒1個單位長的速度作勻速運動，點N從A出發沿邊AB—BC—CO以每秒2個單位長的速度作勻速運動.過點M作直線MP垂直于x軸并交折線OCB于P，交對角線OB于Q，點M和點N同時出發，分別沿各自路線運動，點N運動到原點O時，M和N兩點同時停止運動.

（1）當t=2時，求線段PQ的長；

（2）求t為何值時，點P與N重合；

（3）設△APN的面積為S，求S與t的函數關系式及t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）t=秒時，點P與N重合；（3）S與t的函數關系式為：.

【解析】（1）解直角三角形求出PM，QM即可解決問題；

（2）根據點P、N的路程之和=24，構建方程即可解決問題；

（3）分四種情形考慮問題即可解決問題.

（1）在菱形OABC中，∠AOC=60°，∠AOQ=30°，

當t=2時，OM=2，PM=2，QM=，PQ=.

（2）當t≤4時，AN=PO=2OM=2t，

t=4時，P到達C點，N到達B點，點P，N在邊BC上相遇.

設t秒時，點P與N重合，則(t-4)+2(t-4)=8,

∴t=.

即t=秒時，點P與N重合.

（3）①當0≤t≤4時，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=t，

S△APN=·8·t=4t；

②當4＜t≤時，PN=8-3(t-4)=20-3t，

S△APN=×4×(20-3t)=40-6t；

③當＜t≤8時，PN=3(t-4)-8=3t-20，

S△APN=×4×(3t-20)= 6t -4；

④8＜t≤12時，ON=24-2t，N到OM距離為12-t,

N到CP距離為4-(12-t)= t-8，CP=t-4，BP=12-t，

S△APN=S菱形-S△AON- S△CPN- S△APB

=32-×8×(12-t)- （t-4）（t-8）-（12-t）×4

= - t2+12t-56

綜上，S與t的函數關系式為：