Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，過點B作直線BF，交AC的延長線于點F．

（1）求證：BE＝CE；

（2）若AB＝6，求弧DE的長；

（3）當∠F的度數是多少時，BF與⊙O相切，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）弧DE的長為π；（3）當∠F的度數是36°時，BF與⊙O相切．理由見解析.

【解析】

(1)連接AE，求出AE⊥BC，根據等腰三角形性質求出即可；

(2)根據圓周角定理求出∠DOE的度數，再根據弧長公式進行計算即可；

(3)當∠F的度數是36°時，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF與⊙O相切.

(1)連接AE，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

(2)∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°，

∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，

∴弧DE的長=；

(3)當∠F的度數是36°時，BF與⊙O相切，

理由如下：∵∠BAC=54°，

∴當∠F=36°時，∠ABF=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF為⊙O的切線．