Question

【題目】問(wèn)題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．

（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組經(jīng)過(guò)討論形成下列推理，請(qǐng)你補(bǔ)全推理依據(jù)．

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵PE∥AB(作圖知)

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（ ）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（ ）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

問(wèn)題遷移：

（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系 ．

Answer 1

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ) （2）∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析；（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫(xiě)即可；
（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）畫(huà)出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作圖知)

又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，

過(guò)P作PE∥AD交直線CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．