Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：①當x=1時，點P是正方形ABCD的中心；②當x＝時，EF+GH＞AC；③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是3；④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．其中正確的選項是（ ）

A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴當AE=1時，重合點P是BD的中點，∴點P是正方形ABCD的中心；故①結論正確；

（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣= ，∴，即 ，∴EF= AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②結論錯誤；

（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．∵AE=x，∴六邊形AEFCHG面積=22﹣BEBF﹣GDHD=4﹣×（2﹣x）（2﹣x）﹣xx=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故③結論正確；

（4）當0＜x＜2時，∵EF+GH=AC，六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2故六邊形AEFCHG周長的值不變，故④結論正確．

故選C．