Question

【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F.

（1）若AB=2,AD=3,求EF的長；

（2）若G是EF的中點,連接BG和DG,求證：DG=BG.

Answer 1

【答案】（1）EF＝；（2）見解析

【解析】

（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，從而∠F＝45°，可證△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的長，最后根據勾股定理即可求出EF的長；

（2）連結CG，易證∠BEG＝∠DCG＝135°，根據“SAS”可證△BEG≌△DCG，從而可得DG＝BG.

解：（1）在矩形ABCD中

∵AE平分∠BAD,

∴∠DAF＝45°,

∴∠F＝45°，

∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.

在Rt△CEF中,

∴EF＝.

（2）連結CG,

∵G是EF中點,

∴CG⊥EF,

∠ECG＝∠CEF＝45°.

∴∠BEG＝∠DCG＝135°.

∴EG＝EF＝CG.

∵AB＝BE＝CD,

∴BE＝CD.

∴△BEG≌△DCG,

∴DG＝BG.