Question

【題目】 如圖1，P是菱形ABCD對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．

（1）求證：PD=PE；

（2）求證：∠DPE=∠ABC；

（3）如圖2，當四邊形ABCD為正方形時，連接DE，試探究線段DE與線段BP的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE=BP，理由詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BC=DC，∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明△BCP≌△DCP得出PB=PD，由已知PE=PB，即可得出結論；

（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；

（3）證出△PDE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE=PE，即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，AB∥DC，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PD=PE；

（2）證明：如圖1所示：

由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∵∠CFE=∠DFP（對頂角相等），

∴180°-∠DFP-∠CDP=180°-∠CFE-∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：DE=BP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

由（1）知：PD=BP=PE，

由（2）知，∠DPE=∠ABC=90°，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴DE=PE，

∴DE=BP．