Question

【題目】探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，在邊AB、BC的延長線上截取BM=CN，連結MC、AN，延長MC交AN于點P．

（1）求證：△ACN≌△CBM；

（2）∠CPN= °；（給出求解過程）

（3）應用：將圖①的△ABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE，如圖②、③，在邊AB、BC的延長線上截取BM=CN，連結MC、DN，延長MC交DN于點P，則圖②中∠CPN= °；（直接寫出答案）

（4）圖③中∠CPN= °；（直接寫出答案）

（5）拓展：若將圖①的△ABC改為正n邊形，其它條件不變，則∠CPN= °（用含n的代數式表示，直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）.

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，從而得到△ACN≌△CBM.

（2）利用全等三角形的性質得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，即可求解.

（3）利用正方形（或正五邊形）的性質得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，從而判斷出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性質得到∠CDN=∠BCM，再利用內角和定理即可得到答案.

（4）由（3）的方法即可得到答案.

（5）利用正三邊形，正四邊形，正五邊形，分別求出∠CPN的度數與邊數的關系式，即可得到答案.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60，

∴∠ACN=∠CBM=120，

在△CAN和△CBM中，

，

∴△ACN≌△CBM.

（2）∵△ACN≌△CBM.

∴∠CAN=∠BCM，

∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，

∴∠CPN=∠BMC+∠BAN

=∠BMC+∠BAC+∠CAN

=∠BMC+∠BAC+∠BCM

=∠ABC+∠BAC

=60+60,

=120，

故答案為：120.

（3）將等邊三角形換成正方形，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90，

∴∠MBC=∠DCN=90，

在△DCN和△CBM中，

，

∴△DCN≌△CBM，

∴∠CDN=∠BCM，

∵∠BCM=∠PCN，

∴∠CDN=∠PCN，

在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90，

∴∠PCN+∠CND=90，

∴∠CPN=90，

故答案為：90.

（4）將等邊三角形換成正五邊形，

∴∠ABC=∠DCB=108，

∴∠MBC=∠DCN=72，

在△DCN和△CBM中，

，

∴△DCN≌△CBM，

∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，

∵∠BCM=∠PCN，

∴∠CND=∠PCN，

在△CDN中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108，

∴∠CPN=180-(∠CND+∠PCN)

=180-(∠CND+∠CDN)

=180-108，

=72，

故答案為：72.

（5）正三邊形時，∠CPN=120=，

正四邊形時，∠CPN=90=，

正五邊形時，∠CPN=72=，

正n邊形時，∠CPN=，

故答案為： .