Question

【題目】（1）操作發現：

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．

（2）問題解決：

保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求的值；

（3）類比探求：

保持（1）中條件不變，若DC=nDF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）同意，理由見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；

（2）可設DF=x，BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG，即可得到BG的表達式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達式，進而可在Rt△BFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得到的值；

（3）方法同（2）．

試題解析：（1）同意，連接EF，

則根據翻折不變性得，

∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），

∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y

∵DC=2DF，

∴CF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x；

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2

∴y=2x，

∴；

（3）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y

∵DC=nDF，

∴BF=BG+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2

∴y=2x，

∴．