Question

【題目】如圖，矩形AOBC，點A、B分別在x、y軸上，對角線AB、OC交于點D，點C（ ，1），點M是射線OC上一動點．

（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求點M的坐標；
（3）若N是OA上的動點，則MA+MN是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵C（ ，1），

∴AC=1，OA= ，

∴OC=2，

∴∠COA=30°，∠OCA=60°，

∵矩形AOBC，

∴AD＝CD=OD

且∠OCA=60°

∴△ACD是等邊三角形

（2）解：△OAM是等腰三角形，

當OM=MA時，此時點M與點D重合，

∵C（ ，1），點D為OC中點，

∴M（ ， ）．

當OM1=OA時，做M1E⊥OA，垂足為E，如下圖：

∴OM1=OA= ，

由（1）知∠M1OA=30°，

∴M1E= ，OE= ，

∴M1（ ， ）．

當OA=OM2時，做M2F⊥OA，垂足為F，如上圖：

AM2= ，

由（1）知∠COA=∠AM2O=30°，

∴∠M2AF=60°，

∴AF= ，M2F= ，

M2（ ， ）．

綜上所述：點M坐標為M（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）

（3）解：存在，做點A關于直線OC對稱點為G，如下圖：

則AG⊥OC，且∠GOA=60°OG=OA= ，

∴ON= ，GN= ，

∵點A、G關于直線OC對稱，

∴MG=MA，

∴MA+MN=MG+MN，

∵N是OA上的動點，

∴當GN⊥x軸時，MA+MN最小，

∴存在MA+MN存在最小值，最小值為 ．

【解析】（1）利用點C(3，1)，即可求出相應角度為30°，則∠OCA=60°，根據矩形的性質和直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，則得出了有兩邊相等，且有一個角是60°，即可證明三角形是等邊三角形；
（2）此問結合了分類討論的思想，由等腰三角形性質，對三角形OAM三邊關系進行討論，分別求出三種情況討論，三種情況都是轉換不同的邊為底邊，另外兩邊相等，然后根據不同的情況求出點M的坐標即可；
（3）根據最短路徑探究，做點A關于直線OC對稱點，利用對稱性可以求出最小值。
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和矩形的性質的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．