Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；

（2）若拋物線y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0與x軸有兩個交點都在x軸正半軸上，求m的取值范圍；

（3）填空：若x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的兩根都大于1，則m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) m＞;(3) m＞2.

【解析】試題分析: （1）表示出根的判別式，配方后得到根的判別式大于0，進而確定出方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設拋物線y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0與x軸兩個交點的橫坐標是x1，x2，根據兩個交點都在x軸正半軸上得出x1+x2＞0，x1x2＞0，利用根與系數的關系列出不等式組，求解即可；

（3）設x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的兩根是x1，x2，根據兩根都大于1得出x1+x2＞2，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，根據根與系數的關系列出不等式組，求解即可．

試題解析:

（1）證明：∵△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2+4m+4﹣8m+4=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0，

∴無論m取何實數時，此方程都有兩個不相等的實數根；

（2）解：設拋物線y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0與x軸兩個交點的橫坐標是x1，x2，

則x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．

根據題意，得，

解得m＞．

即m的取值范圍是m＞ ；

（3）解：設x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的兩根是x1，x2，

則x1+x2=m+2，x1x2=2m﹣1．

根據題意，得，

解得m＞2．

故答案為m＞2．