Question

【題目】如圖， 是 內一點， 與 相交于 、 兩點，且與 、 分別相切于點 、， ．連接 、．

（1）求證： ．

（2）已知 ， ．求四邊形 是矩形時 的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由AB、AC和⊙O相切于點D、E可得AD=AE，由此可得∠ADE=∠AED，結合DE∥BC，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC了；

（2）如下圖，連接AO交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OD、OE和DG，設⊙O的半徑為r，由已知條件易證BN=3，∠ANB=90°，從而可得AN=4，在證△ADO∽△ANB，由此可得，即從而可得AD= ，則BD= ，再證△BDG∽△BNA可得，即，由此即可解得： .

試題解析：

（1）∵ 與 、 分別相切于點 、，

∴．

∴．

∵，

∴， ．

∴．

∴；

（2） 如圖，連接 ，交 于點 ，延長 交 于點 ，連接OD、 、，設 的半徑為 ，

∵ 四邊形 是矩形，

∴∠DEG=90°，

∴ 是 的直徑．

∵，AN平分∠BAC，

∴∠ANB=90°，

∴在Rt△ABN中可得：AN=4，

∵AB和⊙O相切于點D，

∴∠ADO=∠GDB=90°=∠ANB，

∵∠DAO=∠NAB，

∴△ADO∽△ANB，

∴，即，

∴AD= ，

∵∠GDB=∠ANB=90°，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BNA，

∴，即，解得： .

∴四邊形 是矩形時 的半徑為 ．