Question

【題目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），請你直接寫出BM、DN和MN的數量關系：__________．

（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明.

（3）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請寫出直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）BM+DN=MN．（2）成立,理由見解析; （3）DN﹣BM=MN．

【解析】分析：

（1）如圖4，把△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，則由已知可得點C、B、F三點共線，結合旋轉的性質可得MF=BM+BF=BM+DN，再證△AMN≌△AMF即可得到所求結論；

（2）如圖5，把△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，與（1）同理可得MN=DN+BM；

（3）如圖6，在DC是截取DE=BM，連接AE，先證△ADE≌△ABM，再證△AMN≌△AEN即可證得DN-BM=MN.

詳解：

（1）BM+DN=MN．　理由如下：

如圖4，把△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，則由題意可得：點C、B、F三點共線，

∴由旋轉的性質可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，

又∵AM=AM，

∴△AMF≌△AMN，

∴MF=MN，

又∵MF=BM+BF，BF=DN，

∴MN=BM+DN；

（2）成立，理由如下：

如圖5，把△ADN繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE，則可得E、B、M三點共線．

∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，

又∵∠NAM=45°，

∴∠EAM=∠NAM，

∴在△AEM與△ANM中， ，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（3）DN-BM=MN．理由如下：

如圖6，在DC上截取DE=BM，連接AE，

∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，

∴△ADE≌△ABM，

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，

∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，

又∵AN=AN，

∴△EAN≌△MAN，

∴EN=MN，

又∵DN-DE=EN，

∴DN-BM=MN.